3.600 \(\int \frac{(c+d \sin (e+f x))^{5/2}}{(a+a \sin (e+f x))^{5/2}} \, dx\)

Optimal. Leaf size=260 \[ -\frac{\sqrt{c-d} \left (3 c^2+14 c d+43 d^2\right ) \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a} \sqrt{c-d} \cos (e+f x)}{\sqrt{2} \sqrt{a \sin (e+f x)+a} \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}\right )}{16 \sqrt{2} a^{5/2} f}-\frac{2 d^{5/2} \tan ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a} \sqrt{d} \cos (e+f x)}{\sqrt{a \sin (e+f x)+a} \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}\right )}{a^{5/2} f}-\frac{(c-d) \cos (e+f x) (c+d \sin (e+f x))^{3/2}}{4 f (a \sin (e+f x)+a)^{5/2}}-\frac{(c-d) (3 c+11 d) \cos (e+f x) \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}{16 a f (a \sin (e+f x)+a)^{3/2}} \]

[Out]

(-2*d^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[d]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])])/(a^(5/
2)*f) - (Sqrt[c - d]*(3*c^2 + 14*c*d + 43*d^2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[c - d]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*
Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*f) - ((c - d)*(3*c + 11*d)*Cos[e + f*x]*Sqrt[c +
d*Sin[e + f*x]])/(16*a*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)) - ((c - d)*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2))/(4*f
*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2))

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.864062, antiderivative size = 260, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 7, number of rules used = 7, integrand size = 29, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.241, Rules used = {2765, 2977, 2982, 2782, 208, 2775, 205} \[ -\frac{\sqrt{c-d} \left (3 c^2+14 c d+43 d^2\right ) \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a} \sqrt{c-d} \cos (e+f x)}{\sqrt{2} \sqrt{a \sin (e+f x)+a} \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}\right )}{16 \sqrt{2} a^{5/2} f}-\frac{2 d^{5/2} \tan ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a} \sqrt{d} \cos (e+f x)}{\sqrt{a \sin (e+f x)+a} \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}\right )}{a^{5/2} f}-\frac{(c-d) \cos (e+f x) (c+d \sin (e+f x))^{3/2}}{4 f (a \sin (e+f x)+a)^{5/2}}-\frac{(c-d) (3 c+11 d) \cos (e+f x) \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}{16 a f (a \sin (e+f x)+a)^{3/2}} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[(c + d*Sin[e + f*x])^(5/2)/(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2),x]

[Out]

(-2*d^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[d]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])])/(a^(5/
2)*f) - (Sqrt[c - d]*(3*c^2 + 14*c*d + 43*d^2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[c - d]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*
Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*f) - ((c - d)*(3*c + 11*d)*Cos[e + f*x]*Sqrt[c +
d*Sin[e + f*x]])/(16*a*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)) - ((c - d)*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2))/(4*f
*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2))

Rule 2765

Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Sim
p[((b*c - a*d)*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^m*(c + d*Sin[e + f*x])^(n - 1))/(a*f*(2*m + 1)), x] + Dist[1/
(a*b*(2*m + 1)), Int[(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)*(c + d*Sin[e + f*x])^(n - 2)*Simp[b*(c^2*(m + 1) + d^2*(n -
1)) + a*c*d*(m - n + 1) + d*(a*d*(m - n + 1) + b*c*(m + n))*Sin[e + f*x], x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e,
f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0] && LtQ[m, -1] && GtQ[n, 1] && (IntegersQ
[2*m, 2*n] || (IntegerQ[m] && EqQ[c, 0]))

Rule 2977

Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((A_.) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])*((c_.) + (d_.)*sin[(e_
.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[((A*b - a*B)*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^m*(c + d*Sin[e + f*x]
)^n)/(a*f*(2*m + 1)), x] - Dist[1/(a*b*(2*m + 1)), Int[(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)*(c + d*Sin[e + f*x])^(n -
1)*Simp[A*(a*d*n - b*c*(m + 1)) - B*(a*c*m + b*d*n) - d*(a*B*(m - n) + A*b*(m + n + 1))*Sin[e + f*x], x], x],
x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0] && LtQ
[m, -2^(-1)] && GtQ[n, 0] && IntegerQ[2*m] && (IntegerQ[2*n] || EqQ[c, 0])

Rule 2982

Int[((A_.) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])/(Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]*Sqrt[(c_.) + (d_.)*sin
[(e_.) + (f_.)*(x_)]]), x_Symbol] :> Dist[(A*b - a*B)/b, Int[1/(Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*
x]]), x], x] + Dist[B/b, Int[Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]/Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e
, f, A, B}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0]

Rule 2782

Int[1/(Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]*Sqrt[(c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]), x_Symbol] :> D
ist[(-2*a)/f, Subst[Int[1/(2*b^2 - (a*c - b*d)*x^2), x], x, (b*Cos[e + f*x])/(Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c
+ d*Sin[e + f*x]])], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 -
d^2, 0]

Rule 208

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(Rt[-(a/b), 2]*ArcTanh[x/Rt[-(a/b), 2]])/a, x] /; FreeQ[{a,
b}, x] && NegQ[a/b]

Rule 2775

Int[Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]/Sqrt[(c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Dist[
(-2*b)/f, Subst[Int[1/(b + d*x^2), x], x, (b*Cos[e + f*x])/(Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])
], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0]

Rule 205

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(Rt[a/b, 2]*ArcTan[x/Rt[a/b, 2]])/a, x] /; FreeQ[{a, b}, x]
&& PosQ[a/b]

Rubi steps

\begin{align*} \int \frac{(c+d \sin (e+f x))^{5/2}}{(a+a \sin (e+f x))^{5/2}} \, dx &=-\frac{(c-d) \cos (e+f x) (c+d \sin (e+f x))^{3/2}}{4 f (a+a \sin (e+f x))^{5/2}}-\frac{\int \frac{\sqrt{c+d \sin (e+f x)} \left (-\frac{1}{2} a (3 c-d) (c+3 d)-4 a d^2 \sin (e+f x)\right )}{(a+a \sin (e+f x))^{3/2}} \, dx}{4 a^2}\\ &=-\frac{(c-d) (3 c+11 d) \cos (e+f x) \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}{16 a f (a+a \sin (e+f x))^{3/2}}-\frac{(c-d) \cos (e+f x) (c+d \sin (e+f x))^{3/2}}{4 f (a+a \sin (e+f x))^{5/2}}-\frac{\int \frac{-\frac{1}{4} a^2 (3 c-d) \left (c^2+4 c d+11 d^2\right )-8 a^2 d^3 \sin (e+f x)}{\sqrt{a+a \sin (e+f x)} \sqrt{c+d \sin (e+f x)}} \, dx}{8 a^4}\\ &=-\frac{(c-d) (3 c+11 d) \cos (e+f x) \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}{16 a f (a+a \sin (e+f x))^{3/2}}-\frac{(c-d) \cos (e+f x) (c+d \sin (e+f x))^{3/2}}{4 f (a+a \sin (e+f x))^{5/2}}+\frac{d^3 \int \frac{\sqrt{a+a \sin (e+f x)}}{\sqrt{c+d \sin (e+f x)}} \, dx}{a^3}+\frac{\left ((c-d) \left (3 c^2+14 c d+43 d^2\right )\right ) \int \frac{1}{\sqrt{a+a \sin (e+f x)} \sqrt{c+d \sin (e+f x)}} \, dx}{32 a^2}\\ &=-\frac{(c-d) (3 c+11 d) \cos (e+f x) \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}{16 a f (a+a \sin (e+f x))^{3/2}}-\frac{(c-d) \cos (e+f x) (c+d \sin (e+f x))^{3/2}}{4 f (a+a \sin (e+f x))^{5/2}}-\frac{\left (2 d^3\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{a+d x^2} \, dx,x,\frac{a \cos (e+f x)}{\sqrt{a+a \sin (e+f x)} \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}\right )}{a^2 f}-\frac{\left ((c-d) \left (3 c^2+14 c d+43 d^2\right )\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{2 a^2-(a c-a d) x^2} \, dx,x,\frac{a \cos (e+f x)}{\sqrt{a+a \sin (e+f x)} \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}\right )}{16 a f}\\ &=-\frac{2 d^{5/2} \tan ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a} \sqrt{d} \cos (e+f x)}{\sqrt{a+a \sin (e+f x)} \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}\right )}{a^{5/2} f}-\frac{\sqrt{c-d} \left (3 c^2+14 c d+43 d^2\right ) \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a} \sqrt{c-d} \cos (e+f x)}{\sqrt{2} \sqrt{a+a \sin (e+f x)} \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}\right )}{16 \sqrt{2} a^{5/2} f}-\frac{(c-d) (3 c+11 d) \cos (e+f x) \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}{16 a f (a+a \sin (e+f x))^{3/2}}-\frac{(c-d) \cos (e+f x) (c+d \sin (e+f x))^{3/2}}{4 f (a+a \sin (e+f x))^{5/2}}\\ \end{align*}

Mathematica [C]  time = 17.1589, size = 1845, normalized size = 7.1 \[ \text{result too large to display} \]

Warning: Unable to verify antiderivative.

[In]

Integrate[(c + d*Sin[e + f*x])^(5/2)/(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2),x]

[Out]

((Cos[(e + f*x)/2] + Sin[(e + f*x)/2])^5*(-(c - d)^2/(4*(Cos[(e + f*x)/2] + Sin[(e + f*x)/2])^3) - (3*(c - d)*
(c + 5*d))/(16*(Cos[(e + f*x)/2] + Sin[(e + f*x)/2])) + (3*(c^2*Sin[(e + f*x)/2] + 4*c*d*Sin[(e + f*x)/2] - 5*
d^2*Sin[(e + f*x)/2]))/(8*(Cos[(e + f*x)/2] + Sin[(e + f*x)/2])^2) + (c^2*Sin[(e + f*x)/2] - 2*c*d*Sin[(e + f*
x)/2] + d^2*Sin[(e + f*x)/2])/(2*(Cos[(e + f*x)/2] + Sin[(e + f*x)/2])^4))*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(f*(a*(1
+ Sin[e + f*x]))^(5/2)) + ((Sqrt[2]*(3*c^3 + 11*c^2*d + 29*c*d^2 - 43*d^3)*Log[1 + Tan[(e + f*x)/2]] - Sqrt[2]
*(3*c^3 + 11*c^2*d + 29*c*d^2 - 43*d^3)*Log[c - d + 2*Sqrt[c - d]*Sqrt[(1 + Cos[e + f*x])^(-1)]*Sqrt[c + d*Sin
[e + f*x]] + (-c + d)*Tan[(e + f*x)/2]] - (32*I)*Sqrt[c - d]*d^(5/2)*(Log[(c - I*(d + (1 + I)*Sqrt[2]*Sqrt[d]*
Sqrt[(1 + Cos[e + f*x])^(-1)]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) + ((-I)*c + d)*Tan[(e + f*x)/2])/(16*d^(7/2)*(I + Tan[
(e + f*x)/2]))] - Log[(c + I*d + (1 + I)*Sqrt[2]*Sqrt[d]*Sqrt[(1 + Cos[e + f*x])^(-1)]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]
] + (I*c + d)*Tan[(e + f*x)/2])/(16*d^(7/2)*(-I + Tan[(e + f*x)/2]))]))*(Cos[(e + f*x)/2] + Sin[(e + f*x)/2])^
5*((3*c^3)/(32*(Cos[(e + f*x)/2] + Sin[(e + f*x)/2])*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) + (11*c^2*d)/(32*(Cos[(e + f*x)
/2] + Sin[(e + f*x)/2])*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) + (29*c*d^2)/(32*(Cos[(e + f*x)/2] + Sin[(e + f*x)/2])*Sqrt[
c + d*Sin[e + f*x]]) - (11*d^3)/(32*(Cos[(e + f*x)/2] + Sin[(e + f*x)/2])*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) + (d^3*Sin
[e + f*x])/((Cos[(e + f*x)/2] + Sin[(e + f*x)/2])*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])))/(f*(a*(1 + Sin[e + f*x]))^(5/2)*
(((3*c^3 + 11*c^2*d + 29*c*d^2 - 43*d^3)*Sec[(e + f*x)/2]^2)/(Sqrt[2]*(1 + Tan[(e + f*x)/2])) - (Sqrt[2]*(3*c^
3 + 11*c^2*d + 29*c*d^2 - 43*d^3)*(((-c + d)*Sec[(e + f*x)/2]^2)/2 + (Sqrt[c - d]*d*Cos[e + f*x]*Sqrt[(1 + Cos
[e + f*x])^(-1)])/Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]] + Sqrt[c - d]*((1 + Cos[e + f*x])^(-1))^(3/2)*Sin[e + f*x]*Sqrt[c +
d*Sin[e + f*x]]))/(c - d + 2*Sqrt[c - d]*Sqrt[(1 + Cos[e + f*x])^(-1)]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]] + (-c + d)*Ta
n[(e + f*x)/2]) - (32*I)*Sqrt[c - d]*d^(5/2)*((16*d^(7/2)*(I + Tan[(e + f*x)/2])*(((((-I)*c + d)*Sec[(e + f*x)
/2]^2)/2 - I*(((1 + I)*d^(3/2)*Cos[e + f*x]*Sqrt[(1 + Cos[e + f*x])^(-1)])/(Sqrt[2]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])
+ ((1 + I)*Sqrt[d]*((1 + Cos[e + f*x])^(-1))^(3/2)*Sin[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/Sqrt[2]))/(16*d^(7/2
)*(I + Tan[(e + f*x)/2])) - (Sec[(e + f*x)/2]^2*(c - I*(d + (1 + I)*Sqrt[2]*Sqrt[d]*Sqrt[(1 + Cos[e + f*x])^(-
1)]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) + ((-I)*c + d)*Tan[(e + f*x)/2]))/(32*d^(7/2)*(I + Tan[(e + f*x)/2])^2)))/(c - I
*(d + (1 + I)*Sqrt[2]*Sqrt[d]*Sqrt[(1 + Cos[e + f*x])^(-1)]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) + ((-I)*c + d)*Tan[(e +
f*x)/2]) - (16*d^(7/2)*(-I + Tan[(e + f*x)/2])*((((I*c + d)*Sec[(e + f*x)/2]^2)/2 + ((1 + I)*d^(3/2)*Cos[e + f
*x]*Sqrt[(1 + Cos[e + f*x])^(-1)])/(Sqrt[2]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) + ((1 + I)*Sqrt[d]*((1 + Cos[e + f*x])^(
-1))^(3/2)*Sin[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/Sqrt[2])/(16*d^(7/2)*(-I + Tan[(e + f*x)/2])) - (Sec[(e + f*
x)/2]^2*(c + I*d + (1 + I)*Sqrt[2]*Sqrt[d]*Sqrt[(1 + Cos[e + f*x])^(-1)]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]] + (I*c + d)*
Tan[(e + f*x)/2]))/(32*d^(7/2)*(-I + Tan[(e + f*x)/2])^2)))/(c + I*d + (1 + I)*Sqrt[2]*Sqrt[d]*Sqrt[(1 + Cos[e
+ f*x])^(-1)]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]] + (I*c + d)*Tan[(e + f*x)/2]))))

________________________________________________________________________________________

Maple [B]  time = 0.398, size = 10738, normalized size = 41.3 \begin{align*} \text{output too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((c+d*sin(f*x+e))^(5/2)/(a+a*sin(f*x+e))^(5/2),x)

[Out]

result too large to display

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{{\left (d \sin \left (f x + e\right ) + c\right )}^{\frac{5}{2}}}{{\left (a \sin \left (f x + e\right ) + a\right )}^{\frac{5}{2}}}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((c+d*sin(f*x+e))^(5/2)/(a+a*sin(f*x+e))^(5/2),x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate((d*sin(f*x + e) + c)^(5/2)/(a*sin(f*x + e) + a)^(5/2), x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [B]  time = 5.10096, size = 9397, normalized size = 36.14 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((c+d*sin(f*x+e))^(5/2)/(a+a*sin(f*x+e))^(5/2),x, algorithm="fricas")

[Out]

[1/32*(sqrt(1/2)*((3*a*c^2 + 14*a*c*d + 43*a*d^2)*cos(f*x + e)^3 - 12*a*c^2 - 56*a*c*d - 172*a*d^2 + 3*(3*a*c^
2 + 14*a*c*d + 43*a*d^2)*cos(f*x + e)^2 - 2*(3*a*c^2 + 14*a*c*d + 43*a*d^2)*cos(f*x + e) - (12*a*c^2 + 56*a*c*
d + 172*a*d^2 - (3*a*c^2 + 14*a*c*d + 43*a*d^2)*cos(f*x + e)^2 + 2*(3*a*c^2 + 14*a*c*d + 43*a*d^2)*cos(f*x + e
))*sin(f*x + e))*sqrt((c - d)/a)*log((4*sqrt(1/2)*sqrt(a*sin(f*x + e) + a)*sqrt(d*sin(f*x + e) + c)*sqrt((c -
d)/a)*(cos(f*x + e) - sin(f*x + e) + 1) - (c - 3*d)*cos(f*x + e)^2 - (3*c - d)*cos(f*x + e) + ((c - 3*d)*cos(f
*x + e) - 2*c - 2*d)*sin(f*x + e) - 2*c - 2*d)/(cos(f*x + e)^2 - (cos(f*x + e) + 2)*sin(f*x + e) - cos(f*x + e
) - 2)) + 8*(a*d^2*cos(f*x + e)^3 + 3*a*d^2*cos(f*x + e)^2 - 2*a*d^2*cos(f*x + e) - 4*a*d^2 + (a*d^2*cos(f*x +
e)^2 - 2*a*d^2*cos(f*x + e) - 4*a*d^2)*sin(f*x + e))*sqrt(-d/a)*log((128*d^4*cos(f*x + e)^5 + 128*(2*c*d^3 -
d^4)*cos(f*x + e)^4 + c^4 + 4*c^3*d + 6*c^2*d^2 + 4*c*d^3 + d^4 - 32*(5*c^2*d^2 - 14*c*d^3 + 13*d^4)*cos(f*x +
e)^3 - 32*(c^3*d - 2*c^2*d^2 + 9*c*d^3 - 4*d^4)*cos(f*x + e)^2 - 8*(16*d^3*cos(f*x + e)^4 + 24*(c*d^2 - d^3)*
cos(f*x + e)^3 - c^3 + 17*c^2*d - 59*c*d^2 + 51*d^3 - 2*(5*c^2*d - 26*c*d^2 + 33*d^3)*cos(f*x + e)^2 - (c^3 -
7*c^2*d + 31*c*d^2 - 25*d^3)*cos(f*x + e) + (16*d^3*cos(f*x + e)^3 + c^3 - 17*c^2*d + 59*c*d^2 - 51*d^3 - 8*(3
*c*d^2 - 5*d^3)*cos(f*x + e)^2 - 2*(5*c^2*d - 14*c*d^2 + 13*d^3)*cos(f*x + e))*sin(f*x + e))*sqrt(a*sin(f*x +
e) + a)*sqrt(d*sin(f*x + e) + c)*sqrt(-d/a) + (c^4 - 28*c^3*d + 230*c^2*d^2 - 476*c*d^3 + 289*d^4)*cos(f*x + e
) + (128*d^4*cos(f*x + e)^4 + c^4 + 4*c^3*d + 6*c^2*d^2 + 4*c*d^3 + d^4 - 256*(c*d^3 - d^4)*cos(f*x + e)^3 - 3
2*(5*c^2*d^2 - 6*c*d^3 + 5*d^4)*cos(f*x + e)^2 + 32*(c^3*d - 7*c^2*d^2 + 15*c*d^3 - 9*d^4)*cos(f*x + e))*sin(f
*x + e))/(cos(f*x + e) + sin(f*x + e) + 1)) + 2*(3*(c^2 + 4*c*d - 5*d^2)*cos(f*x + e)^2 + 4*c^2 - 8*c*d + 4*d^
2 + (7*c^2 + 4*c*d - 11*d^2)*cos(f*x + e) - (4*c^2 - 8*c*d + 4*d^2 - 3*(c^2 + 4*c*d - 5*d^2)*cos(f*x + e))*sin
(f*x + e))*sqrt(a*sin(f*x + e) + a)*sqrt(d*sin(f*x + e) + c))/(a^3*f*cos(f*x + e)^3 + 3*a^3*f*cos(f*x + e)^2 -
2*a^3*f*cos(f*x + e) - 4*a^3*f + (a^3*f*cos(f*x + e)^2 - 2*a^3*f*cos(f*x + e) - 4*a^3*f)*sin(f*x + e)), 1/32*
(sqrt(1/2)*((3*a*c^2 + 14*a*c*d + 43*a*d^2)*cos(f*x + e)^3 - 12*a*c^2 - 56*a*c*d - 172*a*d^2 + 3*(3*a*c^2 + 14
*a*c*d + 43*a*d^2)*cos(f*x + e)^2 - 2*(3*a*c^2 + 14*a*c*d + 43*a*d^2)*cos(f*x + e) - (12*a*c^2 + 56*a*c*d + 17
2*a*d^2 - (3*a*c^2 + 14*a*c*d + 43*a*d^2)*cos(f*x + e)^2 + 2*(3*a*c^2 + 14*a*c*d + 43*a*d^2)*cos(f*x + e))*sin
(f*x + e))*sqrt((c - d)/a)*log((4*sqrt(1/2)*sqrt(a*sin(f*x + e) + a)*sqrt(d*sin(f*x + e) + c)*sqrt((c - d)/a)*
(cos(f*x + e) - sin(f*x + e) + 1) - (c - 3*d)*cos(f*x + e)^2 - (3*c - d)*cos(f*x + e) + ((c - 3*d)*cos(f*x + e
) - 2*c - 2*d)*sin(f*x + e) - 2*c - 2*d)/(cos(f*x + e)^2 - (cos(f*x + e) + 2)*sin(f*x + e) - cos(f*x + e) - 2)
) + 16*(a*d^2*cos(f*x + e)^3 + 3*a*d^2*cos(f*x + e)^2 - 2*a*d^2*cos(f*x + e) - 4*a*d^2 + (a*d^2*cos(f*x + e)^2
- 2*a*d^2*cos(f*x + e) - 4*a*d^2)*sin(f*x + e))*sqrt(d/a)*arctan(1/4*(8*d^2*cos(f*x + e)^2 - c^2 + 6*c*d - 9*
d^2 - 8*(c*d - d^2)*sin(f*x + e))*sqrt(a*sin(f*x + e) + a)*sqrt(d*sin(f*x + e) + c)*sqrt(d/a)/(2*d^3*cos(f*x +
e)^3 - (3*c*d^2 - d^3)*cos(f*x + e)*sin(f*x + e) - (c^2*d - c*d^2 + 2*d^3)*cos(f*x + e))) + 2*(3*(c^2 + 4*c*d
- 5*d^2)*cos(f*x + e)^2 + 4*c^2 - 8*c*d + 4*d^2 + (7*c^2 + 4*c*d - 11*d^2)*cos(f*x + e) - (4*c^2 - 8*c*d + 4*
d^2 - 3*(c^2 + 4*c*d - 5*d^2)*cos(f*x + e))*sin(f*x + e))*sqrt(a*sin(f*x + e) + a)*sqrt(d*sin(f*x + e) + c))/(
a^3*f*cos(f*x + e)^3 + 3*a^3*f*cos(f*x + e)^2 - 2*a^3*f*cos(f*x + e) - 4*a^3*f + (a^3*f*cos(f*x + e)^2 - 2*a^3
*f*cos(f*x + e) - 4*a^3*f)*sin(f*x + e)), -1/16*(sqrt(1/2)*((3*a*c^2 + 14*a*c*d + 43*a*d^2)*cos(f*x + e)^3 - 1
2*a*c^2 - 56*a*c*d - 172*a*d^2 + 3*(3*a*c^2 + 14*a*c*d + 43*a*d^2)*cos(f*x + e)^2 - 2*(3*a*c^2 + 14*a*c*d + 43
*a*d^2)*cos(f*x + e) - (12*a*c^2 + 56*a*c*d + 172*a*d^2 - (3*a*c^2 + 14*a*c*d + 43*a*d^2)*cos(f*x + e)^2 + 2*(
3*a*c^2 + 14*a*c*d + 43*a*d^2)*cos(f*x + e))*sin(f*x + e))*sqrt(-(c - d)/a)*arctan(-2*sqrt(1/2)*sqrt(a*sin(f*x
+ e) + a)*sqrt(d*sin(f*x + e) + c)*sqrt(-(c - d)/a)/((c - d)*cos(f*x + e))) - 4*(a*d^2*cos(f*x + e)^3 + 3*a*d
^2*cos(f*x + e)^2 - 2*a*d^2*cos(f*x + e) - 4*a*d^2 + (a*d^2*cos(f*x + e)^2 - 2*a*d^2*cos(f*x + e) - 4*a*d^2)*s
in(f*x + e))*sqrt(-d/a)*log((128*d^4*cos(f*x + e)^5 + 128*(2*c*d^3 - d^4)*cos(f*x + e)^4 + c^4 + 4*c^3*d + 6*c
^2*d^2 + 4*c*d^3 + d^4 - 32*(5*c^2*d^2 - 14*c*d^3 + 13*d^4)*cos(f*x + e)^3 - 32*(c^3*d - 2*c^2*d^2 + 9*c*d^3 -
4*d^4)*cos(f*x + e)^2 - 8*(16*d^3*cos(f*x + e)^4 + 24*(c*d^2 - d^3)*cos(f*x + e)^3 - c^3 + 17*c^2*d - 59*c*d^
2 + 51*d^3 - 2*(5*c^2*d - 26*c*d^2 + 33*d^3)*cos(f*x + e)^2 - (c^3 - 7*c^2*d + 31*c*d^2 - 25*d^3)*cos(f*x + e)
+ (16*d^3*cos(f*x + e)^3 + c^3 - 17*c^2*d + 59*c*d^2 - 51*d^3 - 8*(3*c*d^2 - 5*d^3)*cos(f*x + e)^2 - 2*(5*c^2
*d - 14*c*d^2 + 13*d^3)*cos(f*x + e))*sin(f*x + e))*sqrt(a*sin(f*x + e) + a)*sqrt(d*sin(f*x + e) + c)*sqrt(-d/
a) + (c^4 - 28*c^3*d + 230*c^2*d^2 - 476*c*d^3 + 289*d^4)*cos(f*x + e) + (128*d^4*cos(f*x + e)^4 + c^4 + 4*c^3
*d + 6*c^2*d^2 + 4*c*d^3 + d^4 - 256*(c*d^3 - d^4)*cos(f*x + e)^3 - 32*(5*c^2*d^2 - 6*c*d^3 + 5*d^4)*cos(f*x +
e)^2 + 32*(c^3*d - 7*c^2*d^2 + 15*c*d^3 - 9*d^4)*cos(f*x + e))*sin(f*x + e))/(cos(f*x + e) + sin(f*x + e) + 1
)) - (3*(c^2 + 4*c*d - 5*d^2)*cos(f*x + e)^2 + 4*c^2 - 8*c*d + 4*d^2 + (7*c^2 + 4*c*d - 11*d^2)*cos(f*x + e) -
(4*c^2 - 8*c*d + 4*d^2 - 3*(c^2 + 4*c*d - 5*d^2)*cos(f*x + e))*sin(f*x + e))*sqrt(a*sin(f*x + e) + a)*sqrt(d*
sin(f*x + e) + c))/(a^3*f*cos(f*x + e)^3 + 3*a^3*f*cos(f*x + e)^2 - 2*a^3*f*cos(f*x + e) - 4*a^3*f + (a^3*f*co
s(f*x + e)^2 - 2*a^3*f*cos(f*x + e) - 4*a^3*f)*sin(f*x + e)), -1/16*(sqrt(1/2)*((3*a*c^2 + 14*a*c*d + 43*a*d^2
)*cos(f*x + e)^3 - 12*a*c^2 - 56*a*c*d - 172*a*d^2 + 3*(3*a*c^2 + 14*a*c*d + 43*a*d^2)*cos(f*x + e)^2 - 2*(3*a
*c^2 + 14*a*c*d + 43*a*d^2)*cos(f*x + e) - (12*a*c^2 + 56*a*c*d + 172*a*d^2 - (3*a*c^2 + 14*a*c*d + 43*a*d^2)*
cos(f*x + e)^2 + 2*(3*a*c^2 + 14*a*c*d + 43*a*d^2)*cos(f*x + e))*sin(f*x + e))*sqrt(-(c - d)/a)*arctan(-2*sqrt
(1/2)*sqrt(a*sin(f*x + e) + a)*sqrt(d*sin(f*x + e) + c)*sqrt(-(c - d)/a)/((c - d)*cos(f*x + e))) - 8*(a*d^2*co
s(f*x + e)^3 + 3*a*d^2*cos(f*x + e)^2 - 2*a*d^2*cos(f*x + e) - 4*a*d^2 + (a*d^2*cos(f*x + e)^2 - 2*a*d^2*cos(f
*x + e) - 4*a*d^2)*sin(f*x + e))*sqrt(d/a)*arctan(1/4*(8*d^2*cos(f*x + e)^2 - c^2 + 6*c*d - 9*d^2 - 8*(c*d - d
^2)*sin(f*x + e))*sqrt(a*sin(f*x + e) + a)*sqrt(d*sin(f*x + e) + c)*sqrt(d/a)/(2*d^3*cos(f*x + e)^3 - (3*c*d^2
- d^3)*cos(f*x + e)*sin(f*x + e) - (c^2*d - c*d^2 + 2*d^3)*cos(f*x + e))) - (3*(c^2 + 4*c*d - 5*d^2)*cos(f*x
+ e)^2 + 4*c^2 - 8*c*d + 4*d^2 + (7*c^2 + 4*c*d - 11*d^2)*cos(f*x + e) - (4*c^2 - 8*c*d + 4*d^2 - 3*(c^2 + 4*c
*d - 5*d^2)*cos(f*x + e))*sin(f*x + e))*sqrt(a*sin(f*x + e) + a)*sqrt(d*sin(f*x + e) + c))/(a^3*f*cos(f*x + e)
^3 + 3*a^3*f*cos(f*x + e)^2 - 2*a^3*f*cos(f*x + e) - 4*a^3*f + (a^3*f*cos(f*x + e)^2 - 2*a^3*f*cos(f*x + e) -
4*a^3*f)*sin(f*x + e))]

________________________________________________________________________________________

Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((c+d*sin(f*x+e))**(5/2)/(a+a*sin(f*x+e))**(5/2),x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Giac [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{{\left (d \sin \left (f x + e\right ) + c\right )}^{\frac{5}{2}}}{{\left (a \sin \left (f x + e\right ) + a\right )}^{\frac{5}{2}}}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((c+d*sin(f*x+e))^(5/2)/(a+a*sin(f*x+e))^(5/2),x, algorithm="giac")

[Out]

integrate((d*sin(f*x + e) + c)^(5/2)/(a*sin(f*x + e) + a)^(5/2), x)